東大院試 A3 解答 - 数学日誌

今回は東大の位相空間論に関する問題です。

夜眠れなくて暇だったので昔の携帯の写真漁ってたら、確か一年生の時に解こうとして解けなかったこの問題のスクショが出てきました。

最近位相空間論の入門記事も書いてるし、リベンジも兼ねてこの問題を解いてみました。

なので年度は分かりませんでした。でも確か東大だったと記憶してます。

この問題は(1)は簡単で問題は(2)です。

解答を見るといかにも簡単そうに見えますが、私はかなり悩んで多分1時間以上悩みました。

a=1と0<a<1の時はすぐに言えたんですけど、a>1の時が中々うまくいきませんでした。

私はa>1のときはハウスドルフになりそうと考えて必死にハウスドルフ性を示そうとしていました笑

しかしn回合成してx(解答では0)になる様な点の存在に気がつき、こいつの極限がなんと1/(1-a)になっているという驚愕の事実に気がつきました。

あとはそれを使ってハウスドルフでない事を示しました。

つまり0<a<1ではnを正に大きく、1<aではnを負の方に大きくすれば良かったわけです。

にしてもこんな問題試験中に解ける気がしません…笑